Time and Distance ಸೂತ್ರಗಳು ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ | PSI–FDA–KAS Maths

ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ (Competitive Exams) ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ‘ಸಮಯ ಮತ್ತು ದೂರ’ದ (Time and Distance) ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿವೆ.

1. ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು (Basic Formulas)

ವೇಗ, ಸಮಯ ಮತ್ತು ದೂರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ:

• ವೇಗ (Speed):

  $$\text{ವೇಗ}=\frac{\text{ದೂರ}}{\text{ಸಮಯ}}$$

• ಸಮಯ (Time):

  $$\text{ಸಮಯ}=\frac{\text{ದೂರ}}{\text{ವೇಗ}}$$

• ದೂರ (Distance):

  $$\text{ದೂರ}=\text{ವೇಗ}\times \text{ಸಮಯ}$$

2. ಘಟಕಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ (Unit Conversion)

ವೇಗವನ್ನು ಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಮೀಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಕಿಲೋಮೀಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ:

• ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆಯಿಂದ $\to$ ಮೀ/ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ (km/hr to m/s): ಒಂದು ವೇಗವು $x$ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು $\frac{5}{18}$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

  $$x\text{ km/hr}=\left(x\times \frac{5}{18}\right)\text{ m/s}$$

• ಮೀ/ಸೆಕೆಂಡ್‌ನಿಂದ $\to$ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆಗೆ (m/s to km/hr): ಒಂದು ವೇಗವು $x$ ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು $\frac{18}{5}$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

  $$x\text{ m/s}=\left(x\times \frac{18}{5}\right)\text{ km/hr}$$

3. ವೇಗ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಅನುಪಾತ (Ratio of Speed and Time)

ವೇಗ ಮತ್ತು ಸಮಯ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮಾನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ (Inversely Proportional).

• A ಮತ್ತು B ಗಳ ವೇಗಗಳ ಅನುಪಾತವು $A:B$ ಆಗಿದ್ದರೆ,

• ಅವರು ಅದೇ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದ ಅನುಪಾತವು $B:A$ (ಅಥವಾ $\frac{1}{A}:\frac{1}{B}$) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

4. ಸರಾಸರಿ ವೇಗ (Average Speed)

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು $x$ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹೋಗಿ, ಅದೇ ಸಮಾನ ದೂರವನ್ನು $y$ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹಿಂತಿರುಗಿದರೆ (ಅಥವಾ ಕ್ರಮಿಸಿದರೆ):

• ಇಡೀ ಪ್ರಯಾಣದ ಸರಾಸರಿ ವೇಗ:

  $$\text{ಸರಾಸರಿ ವೇಗ}=\frac{2xy}{x+y}\text{ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ}$$

1. ಪ್ರಶ್ನೆ

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು 600 ಮೀ ಉದ್ದದ ರಸ್ತೆಯನ್ನು 5 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ದಾಟುತ್ತಾನೆ. ಅವನ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ ಕಿ.ಮೀ.ಗಳಲ್ಲಿ (km/hr) ಎಷ್ಟು?

ಆಯ್ಕೆಗಳು: 

A) 3.6 

B) 7.2 

C) 8.4 

D) 10

✅ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: B) 7.2

ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ:

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ನಾವು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು:

1. ವೇಗವನ್ನು ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

2. ಅದನ್ನು ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು.

ಹಂತ 1: ಘಟಕಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆ (Unit Conversion)

• ದೂರ = 600 ಮೀಟರ್.

• ಸಮಯ = 5 ನಿಮಿಷಗಳು.

• ವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 'ಸೆಕೆಂಡ್' ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮಿಷವನ್ನು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ:

  $$5\text{ ನಿಮಿಷ}=5\times 60=300\text{ ಸೆಕೆಂಡುಗಳು}.$$

ಹಂತ 2: ವೇಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಮೀ/ಸೆ)

• ಸೂತ್ರ: $\text{ವೇಗ}=\frac{\text{ದೂರ}}{\text{ಸಮಯ}}$

  $$\text{ವೇಗ}=\frac{600}{300}=2\text{ ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡ್}.$$

ಹಂತ 3: ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು

• ಮೀಟರ್/ಸೆಕೆಂಡ್ ನಿಂದ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆಗೆ ಹೋಗಲು, ನಾವು ಸಿಕ್ಕ ಉತ್ತದವನ್ನು $\frac{18}{5}$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

  $$\text{ವೇಗ}=2\times \frac{18}{5}$$
  $$=\frac{36}{5}$$
  $$=7.2\text{ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ.}$$

2. ಪ್ರಶ್ನೆ

ಒಂದು ವಿಮಾನವು 5 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ 240 ಕಿ.ಮೀ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ದೂರವನ್ನು $1\frac{2}{3}$ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ (1 ಗಂಟೆ 40 ನಿಮಿಷ) ಕ್ರಮಿಸಲು, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕು? (ಗಮನಿಸಿ: ಮೂಲ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ '1 ಗಂಟೆ' ಎಂದು ಮುದ್ರಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಆಯ್ಕೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮಯ $1\frac{2}{3}$ ಗಂಟೆಗಳಾಗಿವೆ)

ಆಯ್ಕೆಗಳು: A) ಗಂಟೆಗೆ 300 ಕಿ.ಮೀ. B) ಗಂಟೆಗೆ 360 ಕಿ.ಮೀ. C) ಗಂಟೆಗೆ 600 ಕಿ.ಮೀ. D) ಗಂಟೆಗೆ 720 ಕಿ.ಮೀ.

✅ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: D) ಗಂಟೆಗೆ 720 ಕಿ.ಮೀ.

ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ:

ತರ್ಕ (Logic): ವಿಮಾನವು ಮೊದಲು ಎಷ್ಟು ದೂರ ಹೋಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ನಂತರ ಅದೇ ದೂರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ವೇಗ ಬೇಕು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು.

ಹಂತ 1: ಒಟ್ಟು ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

• ವೇಗ = 240 ಕಿ.ಮೀ/ಗಂ, ಸಮಯ = 5 ಗಂಟೆ.

  $$\text{ದೂರ}=\text{ವೇಗ}\times \text{ಸಮಯ}$$
  $$\text{ದೂರ}=240\times 5=1200\text{ ಕಿ.ಮೀ.}$$

ಹಂತ 2: ಹೊಸ ಸಮಯವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ

• ಹೊಸ ಸಮಯ = $1\frac{2}{3}$ ಗಂಟೆಗಳು.

• ಇದನ್ನು ವಿಷಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ (Improper Fraction) ಬದಲಾಯಿಸಿ:

  $$1\frac{2}{3}=\frac{3\times 1+2}{3}=\frac{5}{3}\text{ ಗಂಟೆಗಳು.}$$

ಹಂತ 3: ಹೊಸ ವೇಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ

• ಸೂತ್ರ: $\text{ವೇಗ}=\frac{\text{ದೂರ}}{\text{ಸಮಯ}}$

  $$\text{ಹೊಸ ವೇಗ}=\frac{1200}{\frac{5}{3}}$$

• ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಮೇಲೆ ಹೋದಾಗ ತಿರುವು ಮುರುವಾಗುತ್ತದೆ (Reciprocal):

  $$=1200\times \frac{3}{5}$$

• ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಿ: $1200/5=240$.

  $$=240\times 3=720\text{ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ.}$$

3. ಪ್ರಶ್ನೆ

ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಗಂಟೆಗೆ 10 ಕಿ.ಮೀ ಬದಲಿಗೆ 14 ಕಿ.ಮೀ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನಡೆದರೆ, ಅವನು 20 ಕಿ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚು ನಡೆದಿರುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ನಿಜವಾದ ದೂರ:

ಆಯ್ಕೆಗಳು: A) 50 ಕಿ.ಮೀ. B) 56 ಕಿ.ಮೀ. C) 70 ಕಿ.ಮೀ. D) 80 ಕಿ.ಮೀ.

✅ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: A) 50 ಕಿ.ಮೀ.

ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ:

ತರ್ಕ (Logic): ಇಲ್ಲಿ ಸಮಯ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ (Time is constant). ವ್ಯಕ್ತಿಯು ವೇಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಾಗ, ಅವನು ಹೆಚ್ಚು ದೂರ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತಾನೆ. ಆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ದೂರವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವೇಗದಿಂದ ಬಂದಿದೆ.

ಹಂತ 1: ವೇಗ ಮತ್ತು ದೂರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

• ವೇಗದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳ = $14-10=4$ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ.

• ದೂರದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಳ = 20 ಕಿ.ಮೀ.

ಹಂತ 2: ಸಮಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

• ಅವನು ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಗೆ 4 ಕಿ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚು ನಡೆದರೆ, ಒಟ್ಟು 20 ಕಿ.ಮೀ ಹೆಚ್ಚು ನಡೆಯಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕು?

  $$\text{ಸಮಯ}=\frac{\text{ಹೆಚ್ಚುವರಿ ದೂರ}}{\text{ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವೇಗ}}=\frac{20}{4}=5\text{ ಗಂಟೆಗಳು.}$$

• ಇದರರ್ಥ ಅವನು ಒಟ್ಟು 5 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ನಡೆದಿದ್ದಾನೆ.

ಹಂತ 3: ನಿಜವಾದ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ

• ಪ್ರಶ್ನೆಯು "ನಿಜವಾದ ದೂರ" ಕೇಳಿದೆ. ಅವನ ನಿಜವಾದ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 10 ಕಿ.ಮೀ.

  $$\text{ನಿಜವಾದ ದೂರ}=\text{ನಿಜವಾದ ವೇಗ}\times \text{ಸಮಯ}$$
  $$=10\times 5=50\text{ ಕಿ.ಮೀ.}$$

4. ಪ್ರಶ್ನೆ

ಒಂದು ರೈಲು ಕಾರಿಗಿಂತ 50% ವೇಗವಾಗಿ ಚಲಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಟು A ನಿಂದ 75 ಕಿ.ಮೀ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ B ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವಾಗ 12.5 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿತು. ಕಾರಿನ ವೇಗ:

ಆಯ್ಕೆಗಳು: A) ಗಂಟೆಗೆ 100 ಕಿ.ಮೀ. B) ಗಂಟೆಗೆ 110 ಕಿ.ಮೀ. C) ಗಂಟೆಗೆ 120 ಕಿ.ಮೀ. D) ಗಂಟೆಗೆ 130 ಕಿ.ಮೀ.

✅ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: C) ಗಂಟೆಗೆ 120 ಕಿ.ಮೀ.

ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ:

ತರ್ಕ (Logic): ರೈಲು ವೇಗವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ನಿಲ್ದಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮಯ ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಿದ್ದರಿಂದ ಕಾರಿನ ಜೊತೆಗೆ ತಲುಪಿತು. ಅಂದರೆ, ರೈಲು ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು (ಚಲಿಸಲು) ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಿಜವಾದ ಸಮಯ ಕಾರಿಗಿಂತ 12.5 ನಿಮಿಷ ಕಡಿಮೆ.

ಹಂತ 1: ವೇಗಗಳ ಅನುಪಾತ

• ಕಾರಿನ ವೇಗ = $x$ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂ ಅಂದುಕೊಳ್ಳಿ.

• ರೈಲು 50% ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ರೈಲಿನ ವೇಗ = $150\%$ ಆಫ್ $x=1.5x=\frac{3x}{2}$.

ಹಂತ 2: ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ

• ವ್ಯತ್ಯಾಸ = 12.5 ನಿಮಿಷಗಳು.

  $$=\frac{12.5}{60}\text{ ಗಂಟೆ}=\frac{125}{600}=\frac{5}{24}\text{ ಗಂಟೆ.}$$

ಹಂತ 3: ಸಮೀಕರಣ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ

• $\text{ಸಮಯ}=\frac{\text{ದೂರ}}{\text{ವೇಗ}}$

• (ಕಾರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ) - (ರೈಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ) = ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

  $$\frac{75}{x}-\frac{75}{\frac{3x}{2}}=\frac{5}{24}$$
  $$\frac{75}{x}-\frac{75\times 2}{3x}=\frac{5}{24}$$
  $$\frac{75}{x}-\frac{50}{x}=\frac{5}{24}$$
  $$\frac{25}{x}=\frac{5}{24}$$

• ಓರೆ ಗುಣಾಕಾರ (Cross multiply):

  $$5x=25\times 24$$
  $$x=\frac{600}{5}=120\text{ ಕಿ.ಮೀ/ಗಂಟೆ.}$$

5. ಪ್ರಶ್ನೆ

ನಿಲುಗಡೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಬಸ್ಸಿನ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 54 ಕಿ.ಮೀ ಮತ್ತು ನಿಲುಗಡೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಇದು ಗಂಟೆಗೆ 45 ಕಿ.ಮೀ. ಬಸ್ ಗಂಟೆಗೆ ಎಷ್ಟು ನಿಮಿಷಗಳ ಕಾಲ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ?

ಆಯ್ಕೆಗಳು: A) 9 B) 10 C) 12 D) 20

✅ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: B) 10

ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ:

ತರ್ಕ (Logic): ಬಸ್ ಒಂದು ಗಂಟೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಅದು ನಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 54 ಕಿ.ಮೀ ದೂರ ಹೋಗುತ್ತಿತ್ತು. ಆದರೆ ನಿಂತಿದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ 45 ಕಿ.ಮೀ ಹೋಗಿದೆ. ಅಂದರೆ ಅದು ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕಿದ್ದ ಕೆಲವು ಕಿ.ಮೀಗಳನ್ನು 'ನಿಂತಿದ್ದರಿಂದ' ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದೆ.

ಹಂತ 1: ವೇಗದಲ್ಲಿನ ನಷ್ಟ (Loss in distance)

• ಒಂದು ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಕಳೆದುಕೊಂಡ ದೂರ = $54-45=9$ ಕಿ.ಮೀ.

ಹಂತ 2: ಸಮಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ

• ಬಸ್ಸು ತನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ (54 km/hr) ಆ 9 ಕಿ.ಮೀ ಕ್ರಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು? ಅದೇ ಸಮಯವನ್ನು ಅದು ನಿಲುಗಡೆಯಲ್ಲಿ ಕಳೆದಿದೆ.

  $$\text{ನಿಲುಗಡೆ ಸಮಯ}=\frac{\text{ವೇಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ}}{\text{ನಿಲುಗಡೆ ರಹಿತ ವೇಗ}}\times 60\text{ ನಿಮಿಷ}$$
  $$=\frac{9}{54}\times 60$$

• ಸುಲಭಗೊಳಿಸಿ:

  $$\frac{9}{54}=\frac{1}{6}$$
  $$\frac{1}{6}\times 60=10\text{ ನಿಮಿಷಗಳು.}$$